PROBABILIDAD Y ESTADISTICA: marzo 2014

CONCEPTOS BÁSICOS DE LA PROBABILIDAD

EXPERIMENTO Y ENSAYO

Un experimento aleatorio es un proceso que tiene las siguientes propiedades:

El proceso se efectúa de acuerdo a un conjunto bien definido de reglas.
Es de naturaleza tal que se repite o puede concebirse la repetición del mismo.
El resultado de cada ejecución depende de "la casualidad" y por lo tanto, no se puede predecir un resultado único.

Una sola ejecución del experimento se llama ensayo

ESPACIO MUESTRA Y EVENTO

Al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se llama espacio muestra o espacio muestral del experimento, y se denota por S. Cada uno de los resultados del experimento se llama elemento o punto de S. Se dice que un espacio muestra es finito o infinito, cuando el conjunto S tiene un número finito o infinito de elementos, respectivamente.

En muchos problemas prácticos no estamos tan interesados en los resultados individuales del experimento sino en el hecho de que un resultado se encuentre contenido en un cierto conjunto de resultados. Es claro que cada conjunto de este tipo es un subconjunto del espacio muestra S, Este subconjunto se llama evento osuceso.

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Dos eventos A y B que no ocurren simultáneamente o que no tienen elementos en común; es decir, si A Ç B = Æ , entonces A y B son eventos mutuamente exclusivos o mutuamente excluyentes.

EVENTOS COMPLEMENTARIOS

Dos eventos A y B son complementarios si A È B = S y A Ç B = Æ . En caso de que se cumplan estas dos propiedades a B se le denota por A^C (B es el complemento de A) o a A por B^C(A es el complemento de B).

Árbol de probabilidades: representación gráfica que muestra los resultados posibles de una serie de experimentos y sus respectivas probabilidades.

Complemento de un evento: elementos del espacio muestral no incluidos en el evento considerado.

Dependencia estadística: condición en la que la probabilidad de presentación de un evento depende de la presentación de algún otro evento, o se ve afectada por ésta.

Diagrama de Venn: representación gráfica de los conceptos de probabilidad en la que el espacio muestral está representado por un rectángulo y los eventos que suceden en el espacio muestral se representan como partes de dicho rectángulo.

Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Evento: uno o más de los resultados posibles de hacer algo, o uno de los resultados posibles de realizar un experimento.

Eventos exhaustivamente colectivos: lista de eventos que representa todos los resultados posibles de un experimento.

Eventos mutuamente excluyentes: eventos que no se pueden presentar juntos.

Experimento aleatorio actividad que tiene como resultado o que produce un evento. Prueba donde existen dos o más resultados posibles, y no se pude anticipar cuál de ellos va a ocurrir.

Frecuencia relativa de presentación: fracción de veces que a la larga se presenta un evento cuando las condiciones son estables, o frecuencia relativa observada de un evento en un número muy grande de intentos o experimentos.

Independencia estadística: condición en la que la presentación de algún evento no tiene efecto sobre la probabilidad de presentación de otro evento.

Probabilidad: la posibilidad de que algo suceda.

Probabilidad clásica: número de resultados favorables a la presentación de un evento dividido entre el número total de resultados posibles. Asignación de probabilidad "a priori", si necesidad de realizar el experimento.

Probabilidad condicional: probabilidad de que se presente un evento, dado que otro evento ya se ha presentado.

Probabilidad conjunta: probabilidad de que se presenten dos o más eventos simultáneamente o en sucesión.

Probabilidad marginal: probabilidad incondicional de que se presente un evento; probabilidad de que se presente un solo evento. Probabilidad simple, o probabilidad de un evento cualquiera.

Probabilidad subjetiva: probabilidad basada en las creencias personales de quien hace la estimación de probabilidad. Asignación de probabilidad en forma intuitiva, en base a la experiencia o el conocimiento.

Producto de probabilidades: probabilidad de la intersección de dos o más eventos.

Suma de probabilidades: probabilidad de la unión de dos o más eventos.

Ejemplo 23: Sea el experimento de sacar dos fusibles, ambos a la vez, de una caja que contiene 5 fusibles (supongamos que están marcados con las letras a, b, c, d, y e). Supongamos además que 3 están defectuosos (supongamos que los defectuosos son b, c, y d). El espacio muestra es el conjunto de las formas en que se pueden sacar dos fusibles de los cinco.

S = {ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce, de}

Algunos eventos son:

El evento A en que ninguno de los dos fusibles sean defectusos.
El evento B, en que uno de los dos fusibles es defectuoso.
El evento C, en que uno o más fusibles son defectuosos.
El evento D, en que los dos fusibles son defectuosos.

Escritos en notación de conjuntos tenemos:

A = {ae}

B = {ab, ac, ad, be, ce, de}

C = {ab, ac, ad, bc, bd, be, cd, ce, de}

D = {bc, bd, cd}

Los eventos A y B; A y D; B y D; A y C son mutuamente exclusivos, porque A Ç B = Æ , A Ç D = Æ ; B Ç D = Æ .y A Ç C = Æ .

Los eventos A y C son además complementarios, o sea, A Ç C = Æ y A È C = S.

Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A

B)= 1/4. Determinar:

Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/3, p(B) = 1/4, p(A

B) = 1/5. Determinar:

En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

p(chica) = 0.9 · 0.7 + 0.1 · 0.6 = 0.69

De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que:

1Las dos sean copas

2Al menos una sea copas

3Una sea copa y la otra espada

Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.

Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa.

1¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie francés?

2¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?

Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.

1Hacer una tabla ordenando los datos anteriores

2Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.

3Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.

4Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.

Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

1Seleccionar tres niños

2Seleccionar exactamente dos niños y una niña

3Seleccionar por lo menos un niño

4Seleccionar exactamente dos niñas y un niño

En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además hay un 60% que no juega al fútbol, cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:

1Juegue sólo al fútbol

2Juegue sólo al baloncesto

3Practique uno solo de los deportes

4No juegue ni al fútbol ni al baloncesto

En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar:

1i tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños?

2Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?

3¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?

Esta regla expresa la probabilidad de que ocurran dos o más sucesos a la vez, P ( A U B).

Puede presentarse de dos formas: para conjuntos con intersección y para conjuntos mutuamente excluyentes. Veamos:

Para conjuntos con Intersección:

Esto se debe a que sumamos la probabilidad de A más la probabilidad de B , pero como ya habíamos sumado la intersección, entonces la restamos.

Para conjuntos con Mutuamente excluyentes:

En este caso, no hay ningún problema en sumar ambas probabilidades.

Ejemplo 1: Se lanzan un dado. Usted gana $ 3000 pesos si el resultado es par ó divisible por tres ¿Cuál es la probabilidad de ganar ?

Lo que primero hacemos es definir los sucesos :

Sea A = resultado par : A = { 2, 4, 6 }

Sea B = resultado divisible por 3 : B = { 3, 6 } . Ambos sucesos tienen intersección ?

Luego,

Ejemplo 2 : Se tiene una baraja de cartas ( 52 cartas sin jockers), ¿ Cuál es la probabilidad de sacar una Reina ó un As ?

Sea A = sacar una reina y sea B = sacar un as, entonces :

NOTA: Si observas esta regla, puedes notar que se relaciona fuertemente con la Unión entre conjuntos ( ó ) y es una suma.

REGLAS DE LA MULTIPLICACIÓN

De la definición de probabilidad condicional se tienen los siguientes resultados al despejar $P(A\cap B):$

Las relaciones $\left( 1\right)$ y $\left( 2\right)$ son casos especiales de la llamada Regla de la multiplicación, la cual es útil para:

Calcular probabilidades de intersecciones de eventos

con base en probabilidades condicionales.

Esta regla de manera general se puede expresar como:

Sea

eventos tales que

. Entonces

Ejemplo

1. (Inspección de Lotes)

Un lote contiene

items de los cuales

son defectuosos. Los items son seleccionados uno despues del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos items son seleccionados sin reemplazamiento(Significa que el objeto que se selecciona al azar se deja por fuera del lote). ¿ Cúal es la probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos?.

Solución

Sea los eventos

entonces dos items seleccionados seran defectuosos, cuando ocurre el evento $A_{1}\cap A_{2}$ que es la intersección entre los eventos $A_{1}$ y $A_{2}$ . De la información dada se tiene que:

así probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos es

Ahora suponga que selecciona un tercer item, entonces la probabilidad de que los tres items seleccionados sean defectuosos es

Ejemplo 2 La probabilidad de que la batería de un automóvil sujeta a altas temperaturas dentro del compartimiento del motor reciba una corriente de carga mayor que la normal, es

. La probabilidad de que la batería quede expuesta a altas temperaturas es

. ¿ Cúal es probabilidad de que la batería experimente tanto una corriente de carga alta como una temperatura alta?

Solución

Sean

: el evento donde la batería experimenta una corriente de carga mayor que la normal, y

: el evento donde la batería está expuesta a altas temperaturas.

el evento condicional, la batería de un automóvil que esta sujeta a altas temperaturas dentro del compartimiento del motor recibe una corriente de carga mayor que la normal

De la información dada se tiene:

Luego, la probabilidad de que la batería experimente tanto una corriente de carga alta como una temperatura alta, $P(A\cap B)$ es :

Ejemplo 3

El $5\QTR{group}{\%}$ de la población de una ciudad sufre de presión sanguínea alta. De la población con presión sanguínea alta el $75\QTR{group}{\%}$ toman licor mientras que solamente el $50\QTR{group}{\%}$ que no sufren de presión sanguínea alta lo toman. Calcule el porcentaje de personas que toman licor y sufren de presión sanguínea alta.

Solución:

Sean los eventos:

La probabilidades asociadas a estos eventos son:

Y la probabilidad a calcular es MATH

. El diagrama de árbol, ayuda a entender problemas relacionados con la regla de la multiplicación, como es el caso del presente problema:

El porcentaje de personas que toman licor y sufren de presión sanguínea alta es determinado como

4. Un lote contien

artículos de los cuales

son defectuosos y

no defectuosos son inspeccionados uno por uno. Si los artículos son seleccionados al azar sin reemplazamiento, calcular la probabilidad de que:

a. Los primeros dos artículos sean defectuosos

b. Entre los tres primeros artículos, dos sean buenos

c. El tercer artículo es defectuoso

d. Si se tine la siguiente regla: se acepta el lote de

artículos si al observar

artículos máximo uno es defectuoso, calcular la probabilidad de rechazar el lote.

Solución:

Sean los eventos:

El evento de interés es $D_{1}\cap D_{2}$ y su probabilidad es

b. El evento de interés es

y su probabilidad es

c. El evento de interés es

y su probabilidad es

d. Como no se rechaza el lote cuando esxista

defectuoso y

defectuoso, entonces

Luego

$P\ ($ rechazar

Aceptar

Como la probabilidad está ligada a nuestra ignorancia sobre los resultados de la experiencia, el hecho de que ocurra un suceso, puede cambiar la probabilidad de los demás. El proceso de realizar la historia clínica, explorar y realizar pruebas complementarias ilustra este principio.

La probabilidad de que ocurra el suceso A si ha ocurrido el suceso B se denomina probabilidad condicionada y se define

Esta definición es consistente, es decir cumple los axiomas de probabilidad.

Cuando ocurre un suceso cambia el espacio muestral, por eso cambia la probabilidad. A veces es más fácil calcular la probabilidad condicionada teniendo en cuenta este cambio de espacio muestral.

Ejemplo 3:

Una mujer es portadora de la enfermedad de Duchenne ¿Cuál es la probabilidad de que su próximo hijo tenga la enfermedad?

Según las leyes de Mendel, todos los posibles genotipos de un hijo de una madre portadora (xX) y un padre normal (XY) son xX, xY, XX, XY y tienen la misma probabilidad. El espacio muestral es W = {xX, xY, XX, XY}

el suceso A={hijo enfermo} corresponde al genotipo xY, por tanto, según la definición clásica de probabilidad

p(A) = 1/4 = 0,25

La mujer tiene el hijo y es varón ¿qué probabilidad hay de que tenga la enfermedad?

Se define el suceso B = {ser varón} = {xY, XY}

la probabilidad pedida es p(A|B) y aplicando la definición anterior

p(B) = 0,5; A Ç B = {xY}; p(A ÇB) = 0,25; p(A|B) = 0,25/0,5 = 0,5

Si sabemos que es varón, el espacio muestral ha cambiado, ahora es B. Por lo tanto se puede calcular p(A|B) aplicando la definición clásica de probabilidad al nuevo espacio muestral

p(A|B) = 1/2 = 0,5

Ejemplo 4:

Se sabe que el 50% de la población fuma y que el 10% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad de que un fumador sea hipertenso?

A = {ser hipertenso} B = {ser fumador}

A Ç B = {ser hipertenso y fumador}

p(A|B) = 0,10/0,50 = 0,20

Obsérvese que los coeficientes falso-positivo y falso-negativo de las pruebas diagnósticas son probabilidades condicionadas.

La fórmula anterior se puede poner p(A Ç B) = p(B) p(A|B) = p(A) p(B|A)

llamada regla de la multiplicación, que se puede generalizar a más sucesos

p(A₁ Ç A₂ Ç A₃) = p((A₁ Ç A₂) Ç A₃) = p(A₁Ç A₂) p(A₃|A₁ Ç A₂) = p(A₁) p(A₂|A₁) p(A₃|A₁Ç A₂)

En general p(A₁ Ç A₂ Ç A₃ ...) = p(A₁) p(A₂|A₁) p(A₃|A₁ Ç A₂) ...

llamado principio de las probabilidades compuestas y especialmente útil para aquellas situaciones en que las probabilidades condicionadas son más fáciles de obtener que las probabilidades de las intersecciones.

Ejemplo 5:

Se sabe por estudios previos que el 0,1% de la población tiene problemas vasculares. Un estudio sobre individuos con problemas vasculares revela que el 20% de ellos son placas de ateroma. Si el 10% de los individuos con placas de ateroma están expuestos a muerte súbita por desprendimiento de trombos ¿qué probabilidad tiene un individuo cualquiera de estar expuesto a muerte súbita por desprendimiento de trombos de una placa de ateroma?

A₁ = {problemas vasculares}; A₂ = {placas de ateroma}; A₃ = {expuesto a muerte súbita por ....}

p(A₁) = 0,001; p(A₂|A₁) = 0,20; p(A₃|A₁ Ç A₂) = 0,1

p(A1 Ç A2 Ç A3) = 0,001 x 0,20 x 0,1 = 0,000002

TEOREMA DE BAYES

La interpretación más aceptada del teorema de Bayes, es que su estructura permite el calculo de probabilidades después de haber sido realizado un experimento (probabilidades aposteriori), basándose en el conocimiento de la ocurrencia de ciertos eventos que dependan del evento estudiado, o sea, se parte de probabilidades conocidas antes de efectuar el experimento (probabilidades apriori), las cuales son afectadas por las probabilidades propias del experimento (las que aparecen durante la ocurrencia del evento).

Continuando nuestro análisis sobre el teorema de Bayes, la probabilidad condicional deA_i dado B, para cualquier i, es:

Aplicando en el numerador la Regla de Multiplicación P(A_iÇB) = P(A_i) P(B|A_i) y en el denominador el Teorema de Probabilidad Total P(B) = P(A₁) P(B | A₁) + P(A₂) P(B | A₂) + . . . + P(A_n) P(B | A_n), obtenemos la ecuación que representa al:

Teorema de Bayes

Ejemplo 3. 11. Referente al problema de la fábrica que produce dos tipos de reguladores A y B visto anteriormente en la aparte corresponde al Teorema de Probabilidad Total, cabe hacer el siguiente análisis: si se selecciona un regulador al azar de la producción de la fábrica y se ve que funciona bien ¿Cuál es la probabilidad de que sea del tipo B?

Solución

En este caso el estudio se restringe a los reguladores que funcionan bien, por lo que ese evento actúa como espacio muestral reducido, o sea como evento condición. Por lo tanto, el planteamiento de la pregunta es P(B | F).

Los datos que se tienen son :

P(A) = 0.75 P(F | A) = 0.95

P(B) = 0.25 P(F | B) = 0.98

De acuerdo al Teorema de Bayes:

Podemos observar que el denominador corresponde al resultado obtenido al aplicar el Teorema de Probabilidad Total, lo cual debe ser así, ya que la probabilidad condicional establece que

. De esta forma podemos ver que la Probabilidad

Total es el denominador de la fórmula del Teorema de Bayes. También podemos observar que aplicando los conceptos de la Regla de Multiplicación y del Teorema de Probabilidad Total llegamos al planteamiento del teorema de Bayes, Veamos:

Ejemplo 3. 12. Una fábrica que produce material para la construcción tiene 3 máquinas, a las que se les denomina A, B y C. La máquina A produce tabique, la B adoquín y la C losetas. La máquina A produce el 50% de la producción total de la fábrica, la B el 30% y la C el 20%. Los porcentajes de artículos defectuosos producidos por las máquinas son, respectivamente, 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar y se observa que es defectuoso, encontrar la probabilidad de que sea un tabique.

Solución

Definamos el evento D como sea un artículo defectuoso. De acuerdo a esto tenemos que:

P(A) = 0.5 P(D | A) = 0.03

P(B) = 0.3 P(D | B) = 0.04

P(C) = 0.2 P(D | C) = 0.05

Si el artículo del que deseamos calcular la probabilidad es un tabique, significa que es producido por la máquina A. También observamos que en la solución solamente participan los artículos defectuosos, ya que se pone por condición esta característica. Por lo tanto:

Ejemplo 3. 13. A un congreso asisten 100 personas, de las cuales 65 son hombres y 35 son mujeres. Se sabe que el 10% de los hombres y el 6% de las mujeres son especialistas en computación. Si se selecciona al azar a un especialista en computación ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?

Solución

Definamos los eventos:

H: Sea un hombre

M: Sea una mujer

E: La persona sea especialista en computación

Tenemos que: